[例題解説] JKフリップフロップ回路 判定機問題

ディジタル回路の設計では、
フリップフロップを用いた順序回路の解析や設計が重要なテーマとなります。
特に、JKフリップフロップを用いた問題は、
多くの大学院入試や資格試験で出題される定番の問題です。

この記事では、
名古屋工業大学の2023年度大学院入試問題を例に取り、
JKフリップフロップを用いた判定機問題の解法を解説します。

本記事では、これらの手順を具体的に示しながら、
実際の問題をどのように解いていくのかを詳しく説明します。
JKフリップフロップを理解し、応用できるようになるための一助となれば幸いです。

例題

引用：名古屋工業大学2023年度大学院工学研究科（博士前期課程）
　　　専用試験問題　（情報工学系プログラム）

全体の流れ

設問では、
２つの入力I_A、I_Bがあり、どちらが早く押されたかの判定機を考えます。
出力にはO_A、O_Bがあり、初期状態はI_A、I_B、O_A、O_B＝０となっています。

I_Aが先に押されて１となった場合 ： O_A＝１,O_B＝０となり以降これを保持
I_Bが先に押されて１となった場合 ： O_A＝０,O_B＝１となり以降これを保持
I_A,I_Bが同時におされて１になった場合：O_A＝１,O_B＝１となり以降これを保持

となる判定機を作成することを考えます。
この判定機をT_Aという関数を作成したのちに適切なJKフリップフロップを設定します。
（１）～（３）はT_Aを作成するための問題。
　　（１）真理値表の作成
　　（２）加法標準形での表示
　　（３）カルノー図による簡単化
（４）は作成したT_Aを用いてJKフリップフロップ回路を構築する問題。

（１）真理値表の作成

[問題]

[解答]

[解説]

(1)は判定機の機能の説明から、入力に対する適切な出力を考えます。
　その入力と出力の対応関係を真理値表にまとめます。
　入力がI_A、I_B、Q_A、Q_Bの４種類であるため、２^４で１６通りの出力を考えます。

ある時刻の出力をQ_A、Q_Bとしたとき、次の出力をQ_A^ｎ、Q_B^ｎとすると設問にあります。
また、O_A、O_BとQ_A、Q_Bの信号は等しいので、
この判断機の性能上、Qは先に入力が１となった入力を表します。
　Q_A=0,Q_B=0だった場合は、入力I_A、I_Bのどちらも１が入力されていない。
　Q_A=1,Q_B=0だった場合は、入力I_Aで先に１が入力された。
　Q_A=0,Q_B=1だった場合は、入力I_Bで先に１が入力された。
　Q_A=1,Q_B=1だった場合は、入力I_A、I_Bで同時に１が入力された。
ということを表します。
この仕組みを真理値表にまとめます。

例えば、
　Q_A=0,Q_B=0の時にI_A＝１、I_B＝０が入力された場合
　以前に１が入力されていない状態でI_Aが押されたということを表すので、
　次のQ_A,Q_BはQ_A=１,Q_B=0となります。
　これは、Q_A^ｎ＝１、Q_B^ｎ＝０ということです。

他にも、
　Q_A=0,Q_B=１の時にI_A＝１、I_B＝１が入力された場合
　以前に１がI_Bで入力された状態で、I_AI_Bで同時に押されたということを表します。
　しかし、Q_A=0,Q_B=１の状態からQが変化することはないので、
　次のQ_A,Q_BはQ_A=０,Q_B=１となります。
　これは、Q_A^ｎ＝０、Q_B^ｎ＝１ということです。

　Q_A=１,Q_B=１の時にI_A＝１、I_B＝０が入力された場合
　以前に１がI_A,I_Bで同時に入力された状態で、I_Aが押されたということを表します。
　しかし、Q_A=１,Q_B=１の状態からQが変化することはないので、
　次のQ_A,Q_BはQ_A=１,Q_B=１となります。
　これは、Q_A^ｎ＝１、Q_B^ｎ＝１ということです。

このような関係をすべての入力に対しての出力を表でまとめたものが真理値表になります。

（２）TAを加法標準形で表す

[問題]

[解答]

[解説]
今回着目すべき点はQ_AとQ_A^ｎが反転している場所です。
T_Aの出力はQ_AとQ_A^ｎが反転している場所だけ１を
それ以外の入力に対しては0を出力する論理関数となっています。

さきほどの真理値表を確認してみると、
Q_AとQ_A^ｎが反転しているのは2か所のみです。
この2行をT_Aの出力１にするとします。

加法標準形の導出方法にのっとり、論理関数を表します。
　Q_A,Q_B,I_A,I_B＝0,0,1,0
　Q_A,Q_B,I_A,I_B＝0,0,1,1
の時に出力が１となるとしているので、各行の最小項を作成します。

得られた最小項で論理和をとるとT_Aは

（３）カルノー図による簡単化

[問題]

[解答]

[解説]

さきほどの真理値表を用いてカルノー図による簡単化を行います。
カルノー図を確認してみると、Q_A＝０,Q_B＝０,I_A,＝1は固定で決まっていますが、
I_Bは０と１のどちらでも良いようです。
つまり、考慮しなくて良いということになります。
したがって論理関数T_Aは

と簡単化することができます。

（４）TAを用いてJKフリップフロップ回路を構築

[問題]

[解答]

J_A＝１、K_A＝０、CK_A＝T_A
（※J_A＝１、K_A＝１、CK_A＝T_Aも正解）

[解説]

設問に
　「I_Aの変化をCKのエッジとして用い、CKが０から１に変化した瞬間に各フリップフロップ
　の出力Qを変化させるように設計する」
と記載されているので、I_Aを含むT_AがCK_Aとして適切であることが分かります。

　　　　現状の論理回路

残るはJ_AとK_Aですが、
J_AとK_Aはそれぞれ０か１が指定できるので、JKフリップフロップの入出力特性を参考にJ_AとK_Aのすべての組み合わせに対する出力を考えます。

J_A＝０、K_A＝０のとき
Q_Aの初期状態は０であり、I_A,I_Bのどちらかに１が入力さるまではその状態が維持されます。
　I_Aで1が入力されると、入出力特性より
　Q_A^ｎ＝Q_Aであるので、Q_A^ｎ＝Q_A＝０となります。
　O_A＝Q_A^ｎであるので、I_Aに1が入力された場合O_Aは０を出力しています。
したがって、J_A＝０、K_A＝０は適切ではありません。

J_A＝０、K_A＝１のとき
Q_Aの初期状態は０であり、I_A,I_Bのどちらかに１が入力さるまではその状態が維持されます。
　I_Aで1が入力されると、入出力特性よりQ_A^ｎに０が出力されます。
　O_A＝Q_A^ｎであるので、I_Aに1が入力された場合O_Aは０を出力しています。
したがって、J_A＝０、K_A＝１は適切ではありません。

J_A＝１、K_A＝０のとき
Q_Aの初期状態は０であり、I_A,I_Bのどちらかに１が入力さるまではその状態が維持されます。
　I_Aで1が入力されると、入出力特性よりQ_A^ｎに１が出力されます。
　O_A＝Q_A^ｎであるので、I_Aに1が入力された場合O_Aは１を出力しています。
したがって、J_A＝１、K_A＝０は適切であると考えられます。

J_A＝１、K_A＝１のとき
Q_Aの初期状態は０であり、I_A,I_Bのどちらかに１が入力さるまではその状態が維持されます。
　I_Aで1が入力されると、入出力特性より
　Q_A^ｎ＝￢Q_Aであるので、Q_A^ｎ＝￢Q_A＝１となります。
　O_A＝Q_A^ｎであるので、I_Aに1が入力された場合O_Aは１を出力しています。
したがって、J_A＝１、K_A＝１は適切であると考えられます。

論理回路の例